Розв'яжіть {l}{x=-y}{2x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - y } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Знайдіть x, y

$$x=5$$

$$y=-5$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте перше рівняння. Додайте y до обох сторін.

$$x+y=0$$

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$x+y=0$$

Відніміть y від обох сторін цього рівняння.

$$x=-y$$

Підставте -y замість x в іншому рівнянні: 2x+y=5.

$$2\left(-1\right)y+y=5$$

Помножте 2 на -y.

$$-2y+y=5$$

Додайте -2y до y.

$$-y=5$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$y=-5$$

Підставте -5 замість y у рівняння x=-y. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=-\left(-5\right)$$

Помножте -1 на -5.

$$x=5$$

Систему розв’язано.

$$x=5,y=-5$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте перше рівняння. Додайте y до обох сторін.

$$x+y=0$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-5\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=5,y=-5$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте перше рівняння. Додайте y до обох сторін.

$$x+y=0$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$x+y=0,2x+y=5$$

Знайдіть різницю 2x+y=5 і x+y=0. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$x-2x+y-y=-5$$

Додайте y до -y. Члени y та -y відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$x-2x=-5$$

Додайте x до -2x.

$$-x=-5$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$x=5$$

Підставте 5 замість x у рівняння 2x+y=5. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$2\times 5+y=5$$

Помножте 2 на 5.

$$10+y=5$$

Відніміть 10 від обох сторін цього рівняння.

$$y=-5$$

Систему розв’язано.

$$x=5,y=-5$$