Розв'яжіть {l}{x+2y=60}{x-y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 60 } \\ { x - y = 30 } \end{array} \right\}$$

Знайдіть x, y

$$x=40$$

$$y=10$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$x+2y=60$$

Відніміть 2y від обох сторін цього рівняння.

$$x=-2y+60$$

Підставте -2y+60 замість x в іншому рівнянні: x-y=30.

$$-2y+60-y=30$$

Додайте -2y до -y.

$$-3y+60=30$$

Відніміть 60 від обох сторін цього рівняння.

$$-3y=-30$$

Розділіть обидві сторони на -3.

$$y=10$$

Підставте 10 замість y у рівняння x=-2y+60. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=-2\times 10+60$$

Помножте -2 на 10.

$$x=-20+60$$

Додайте 60 до -20.

$$x=40$$

Систему розв’язано.

$$x=40,y=10$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\30\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 60+\frac{2}{3}\times 30\\\frac{1}{3}\times 60-\frac{1}{3}\times 30\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=40,y=10$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$x+2y=60,x-y=30$$

Знайдіть різницю x-y=30 і x+2y=60. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$x-x+2y+y=60-30$$

Додайте x до -x. Члени x та -x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$2y+y=60-30$$

Додайте 2y до y.

$$3y=60-30$$

Додайте 60 до -30.

$$3y=30$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$y=10$$

Підставте 10 замість y у рівняння x-y=30. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x-10=30$$

Додайте 10 до обох сторін цього рівняння.

$$x=40$$

Систему розв’язано.

$$x=40,y=10$$