Розв'яжіть {l}{x+2y=1}{x=y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { x = y - 5 } \end{array} \right\}$$

Знайдіть x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте друге рівняння. Відніміть y з обох сторін.

$$x-y=-5$$

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$x+2y=1$$

Відніміть 2y від обох сторін цього рівняння.

$$x=-2y+1$$

Підставте -2y+1 замість x в іншому рівнянні: x-y=-5.

$$-2y+1-y=-5$$

Додайте -2y до -y.

$$-3y+1=-5$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$-3y=-6$$

Розділіть обидві сторони на -3.

$$y=2$$

Підставте 2 замість y у рівняння x=-2y+1. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=-2\times 2+1$$

Помножте -2 на 2.

$$x=-4+1$$

Додайте 1 до -4.

$$x=-3$$

Систему розв’язано.

$$x=-3,y=2$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте друге рівняння. Відніміть y з обох сторін.

$$x-y=-5$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=-3,y=2$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте друге рівняння. Відніміть y з обох сторін.

$$x-y=-5$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$x+2y=1,x-y=-5$$

Знайдіть різницю x-y=-5 і x+2y=1. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$x-x+2y+y=1+5$$

Додайте x до -x. Члени x та -x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$2y+y=1+5$$

Додайте 2y до y.

$$3y=1+5$$

Додайте 1 до 5.

$$3y=6$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$y=2$$

Підставте 2 замість y у рівняння x-y=-5. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x-2=-5$$

Додайте 2 до обох сторін цього рівняння.

$$x=-3$$

Систему розв’язано.

$$x=-3,y=2$$