Розв'яжіть {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Знайдіть x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$2x+y=3$$

Відніміть y від обох сторін цього рівняння.

$$2x=-y+3$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Помножте \frac{1}{2} на -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Підставте \frac{-y+3}{2} замість x в іншому рівнянні: x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Додайте -\frac{y}{2} до y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Відніміть \frac{3}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Помножте обидві сторони на 2.

$$y=7$$

Підставте 7 замість y у рівняння x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Помножте -\frac{1}{2} на 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Щоб додати \frac{3}{2} до -\frac{7}{2}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=-2$$

Систему розв’язано.

$$x=-2,y=7$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=-2,y=7$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Знайдіть різницю x+y=5 і 2x+y=3. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Додайте y до -y. Члени y та -y відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$2x-x=3-5$$

Додайте 2x до -x.

$$x=3-5$$

Додайте 3 до -5.

$$x=-2$$

Підставте -2 замість x у рівняння x+y=5. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$-2+y=5$$

Додайте 2 до обох сторін цього рівняння.

$$y=7$$

Систему розв’язано.

$$x=-2,y=7$$