Розв'яжіть lambda^3-27lambda^2+243lambda-729=0

$$\lambda ^ { 3 } - 27 \lambda ^ { 2 } + 243 \lambda - 729 = 0$$

Знайдіть λ

$$\lambda =9$$

Покрокове розв’язання

За теоремою про раціональні корені всі раціональні корені многочлена мають вигляд \frac{p}{q}, де p ділить вільний член -729, а q ділить старший коефіцієнт многочлена 1. Перелічіть всі можливі \frac{p}{q}.

$$±729,±243,±81,±27,±9,±3,±1$$

Знайдіть один такий корінь, перебравши всі цілі значення, починаючи з найменшого за модулем. Якщо не вдалося знайти жодного цілого кореня, спробуйте дроби.

$$\lambda =9$$

За допомогою Ньютона, \lambda -k – це коефіцієнт полінома для кожного кореневого k. Розділіть \lambda ^{3}-27\lambda ^{2}+243\lambda -729 на \lambda -9, щоб отримати \lambda ^{2}-18\lambda +81. Розв'яжіть рівняння, у якій результат дорівнює 0.

$$\lambda ^{2}-18\lambda +81=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, -18 – на b, а 81 – на c.

$$\lambda =\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 1\times 81}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\lambda =\frac{18±0}{2}$$

Розв’язки збігаються.

$$\lambda =9$$