Розв'яжіть ∫ (from 4 to 9) of (sqrt{x}+1)sqrt{x wrt x

$$\int _ { 4 } ^ { 9 } ( \sqrt { x } + 1 ) \sqrt { x } d x$$

Обчислити

$$\frac{271}{6}\approx 45,166666667$$

Покрокове розв’язання

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити \sqrt{x}+1 на \sqrt{x}.

$$\int _{4}^{9}\left(\sqrt{x}\right)^{2}+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Обчисліть \sqrt{x} у степені 2 і отримайте x.

$$\int _{4}^{9}x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Спочатку обчисліть невизначений інтеграл.

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Інтегруйте суму почленно.

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x\mathrm{d}x з \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Перепишіть \sqrt{x} як x^{\frac{1}{2}}. Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x з \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Виконайте спрощення.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної виразу, обчисленої для верхньої та нижньої меж інтегрування.

$$\frac{9^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 9^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}\right)$$

Виконайте спрощення.

$$\frac{271}{6}$$