Розв'яжіть ∫ (from 1 to 3) of (6x^2-2x+2) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 3 } ( 6 x ^ { 2 } - 2 x + 2 ) d x$$

Обчислити

$$48$$

Покрокове розв’язання

Спочатку обчисліть невизначений інтеграл.

$$\int 6x^{2}-2x+2\mathrm{d}x$$

Інтегруйте суму почленно.

$$\int 6x^{2}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Винесіть константу за дужки в кожному зі членів.

$$6\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x^{2}\mathrm{d}x з \frac{x^{3}}{3}. Помножте 6 на \frac{x^{3}}{3}.

$$2x^{3}-2\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x\mathrm{d}x з \frac{x^{2}}{2}. Помножте -2 на \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{3}-x^{2}+\int 2\mathrm{d}x$$

Знайдіть Інтеграл 2 за допомогою таблиці загального інтеграли правила \int a\mathrm{d}x=ax.

$$2x^{3}-x^{2}+2x$$

Визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної виразу, обчисленої для верхньої та нижньої меж інтегрування.

$$2\times 3^{3}-3^{2}+2\times 3-\left(2\times 1^{3}-1^{2}+2\times 1\right)$$

Виконайте спрощення.

$$48$$