Розв'яжіть ∫ (from 1 to 2) of (1/sqrt{x}-x) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 2 } ( \frac { 1 } { \sqrt { x } } - x ) d x$$

Обчислити

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}\approx -0,671572875$$

Покрокове розв’язання

Спочатку обчисліть невизначений інтеграл.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}-x\mathrm{d}x$$

Інтегруйте суму почленно.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x$$

Винесіть константу за дужки в кожному зі членів.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x$$

Перепишіть \frac{1}{\sqrt{x}} як x^{-\frac{1}{2}}. Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x з \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}. Спростіть і перейдіть від експоненціального запису до запису в радикалах.

$$2\sqrt{x}-\int x\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x\mathrm{d}x з \frac{x^{2}}{2}. Помножте -1 на \frac{x^{2}}{2}.

$$2\sqrt{x}-\frac{x^{2}}{2}$$

Визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної виразу, обчисленої для верхньої та нижньої меж інтегрування.

$$2\times 2^{\frac{1}{2}}-\frac{2^{2}}{2}-\left(2\times 1^{\frac{1}{2}}-\frac{1^{2}}{2}\right)$$

Виконайте спрощення.

$$2\sqrt{2}-\frac{7}{2}$$