Розв'яжіть ∫ (from 0 to 5) of x^2+3x+5 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 5 } x ^ { 2 } + 3 x + 5 d x$$

Обчислити

$$\frac{625}{6}\approx 104,166666667$$

Покрокове розв’язання

Спочатку обчисліть невизначений інтеграл.

$$\int x^{2}+3x+5\mathrm{d}x$$

Інтегруйте суму почленно.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 3x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

Винесіть константу за дужки в кожному зі членів.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+3\int x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x^{2}\mathrm{d}x з \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}+3\int x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x\mathrm{d}x з \frac{x^{2}}{2}. Помножте 3 на \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+\int 5\mathrm{d}x$$

Знайдіть Інтеграл 5 за допомогою таблиці загального інтеграли правила \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{2}}{2}+5x$$

Визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної виразу, обчисленої для верхньої та нижньої меж інтегрування.

$$\frac{5^{3}}{3}+\frac{3}{2}\times 5^{2}+5\times 5-\left(\frac{0^{3}}{3}+\frac{3}{2}\times 0^{2}+5\times 0\right)$$

Виконайте спрощення.

$$\frac{625}{6}$$