Розв'яжіть ∫ (from 0 to 2) of x(3+2x) wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } x ( 3 + 2 x ) d x$$

Обчислити

$$\frac{34}{3}\approx 11,333333333$$

Покрокове розв’язання

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на 3+2x.

$$\int _{0}^{2}3x+2x^{2}\mathrm{d}x$$

Спочатку обчисліть невизначений інтеграл.

$$\int 3x+2x^{2}\mathrm{d}x$$

Інтегруйте суму почленно.

$$\int 3x\mathrm{d}x+\int 2x^{2}\mathrm{d}x$$

Винесіть константу за дужки в кожному зі членів.

$$3\int x\mathrm{d}x+2\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x\mathrm{d}x з \frac{x^{2}}{2}. Помножте 3 на \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{3x^{2}}{2}+2\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x^{2}\mathrm{d}x з \frac{x^{3}}{3}. Помножте 2 на \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{3x^{2}}{2}+\frac{2x^{3}}{3}$$

Визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної виразу, обчисленої для верхньої та нижньої меж інтегрування.

$$\frac{3}{2}\times 2^{2}+\frac{2}{3}\times 2^{3}-\left(\frac{3}{2}\times 0^{2}+\frac{2}{3}\times 0^{3}\right)$$

Виконайте спрощення.

$$\frac{34}{3}$$