Розв'яжіть ∫ (from 0 to 2) of (4x-x^3)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } ( 4 x - x ^ { 3 } ) ^ { 2 } d x$$

Обчислити

$$\frac{1024}{105}\approx 9,752380952$$

Покрокове розв’язання

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(4x-x^{3}\right)^{2}.

$$\int _{0}^{2}16x^{2}-8xx^{3}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Щоб знайти добуток степенів з однаковими основами, додайте їхні показники. Додайте 3 до 1, щоб отримати 4.

$$\int _{0}^{2}16x^{2}-8x^{4}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Щоб піднести до степеня іншу степінь, перемножте показники. Помножте 3 і 2, щоб отримати 6.

$$\int _{0}^{2}16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

Спочатку обчисліть невизначений інтеграл.

$$\int 16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

Інтегруйте суму почленно.

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -8x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Винесіть константу за дужки в кожному зі членів.

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x^{2}\mathrm{d}x з \frac{x^{3}}{3}. Помножте 16 на \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x^{4}\mathrm{d}x з \frac{x^{5}}{5}. Помножте -8 на \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x^{6}\mathrm{d}x з \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}$$

Виконайте спрощення.

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{16x^{3}}{3}$$

Визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної виразу, обчисленої для верхньої та нижньої меж інтегрування.

$$\frac{2^{7}}{7}-\frac{8}{5}\times 2^{5}+\frac{16}{3}\times 2^{3}-\left(\frac{0^{7}}{7}-\frac{8}{5}\times 0^{5}+\frac{16}{3}\times 0^{3}\right)$$

Виконайте спрощення.

$$\frac{1024}{105}$$