Розв'яжіть ∫ (from 0 to 2 pi) of int_0^1rsqrt{4r^2+1}drdθ

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } r \sqrt { 4 r ^ { 2 } + 1 } d r d \theta$$

Обчислити

$$\frac{5\pi \sqrt{5}-\pi }{6}\approx 5,3304135$$

Покрокове розв’язання

Спочатку обчисліть невизначений інтеграл.

$$\int \int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

Знайдіть Інтеграл \int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r за допомогою таблиці загальних правил інтегралів \int a\mathrm{d}\theta =a\theta .

$$\int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\theta$$

Виконайте спрощення.

$$\frac{5\sqrt{5}-1}{12}\theta$$

Визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної виразу, обчисленої для верхньої та нижньої меж інтегрування.

$$\left(\frac{5}{12}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}\right)\times 2\pi -\left(\frac{5}{12}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}\right)\times 0$$

Виконайте спрощення.

$$\frac{5\sqrt{5}\pi -\pi }{6}$$