Розв'яжіть ∫ (from 0 to 1) of 5u^5+3u^2+udu

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } 5 u ^ { 5 } + 3 u ^ { 2 } + u d u$$

Обчислити

$$\frac{7}{3}\approx 2,333333333$$

Покрокове розв’язання

Спочатку обчисліть невизначений інтеграл.

$$\int 5u^{5}+3u^{2}+u\mathrm{d}u$$

Інтегруйте суму почленно.

$$\int 5u^{5}\mathrm{d}u+\int 3u^{2}\mathrm{d}u+\int u\mathrm{d}u$$

Винесіть константу за дужки в кожному зі членів.

$$5\int u^{5}\mathrm{d}u+3\int u^{2}\mathrm{d}u+\int u\mathrm{d}u$$

Оскільки \int u^{k}\mathrm{d}u=\frac{u^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int u^{5}\mathrm{d}u з \frac{u^{6}}{6}. Помножте 5 на \frac{u^{6}}{6}.

$$\frac{5u^{6}}{6}+3\int u^{2}\mathrm{d}u+\int u\mathrm{d}u$$

Оскільки \int u^{k}\mathrm{d}u=\frac{u^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int u^{2}\mathrm{d}u з \frac{u^{3}}{3}. Помножте 3 на \frac{u^{3}}{3}.

$$\frac{5u^{6}}{6}+u^{3}+\int u\mathrm{d}u$$

Оскільки \int u^{k}\mathrm{d}u=\frac{u^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int u\mathrm{d}u з \frac{u^{2}}{2}.

$$\frac{5u^{6}}{6}+u^{3}+\frac{u^{2}}{2}$$

Визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної виразу, обчисленої для верхньої та нижньої меж інтегрування.

$$\frac{5}{6}\times 1^{6}+1^{3}+\frac{1^{2}}{2}-\left(\frac{5}{6}\times 0^{6}+0^{3}+\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Виконайте спрощення.

$$\frac{7}{3}$$