Розв'яжіть ∫ (from 0 to 1) of (x-1)^2

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( x - 1 ) ^ { 2 }$$

Обчислити

$$\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Покрокове розв’язання

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x-1\right)^{2}.

$$\int _{0}^{1}x^{2}-2x+1\mathrm{d}x$$

Спочатку обчисліть невизначений інтеграл.

$$\int x^{2}-2x+1\mathrm{d}x$$

Інтегруйте суму почленно.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Винесіть константу за дужки в кожному зі членів.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x^{2}\mathrm{d}x з \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}-2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x\mathrm{d}x з \frac{x^{2}}{2}. Помножте -2 на \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Знайдіть Інтеграл 1 за допомогою таблиці загального інтеграли правила \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+x$$

Визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної виразу, обчисленої для верхньої та нижньої меж інтегрування.

$$\frac{1^{3}}{3}-1^{2}+1-\left(\frac{0^{3}}{3}-0^{2}+0\right)$$

Виконайте спрощення.

$$\frac{1}{3}$$