Розв'яжіть ∫ (from 0 to 1) of (2x+3)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 2 x + 3 ) ^ { 2 } d x$$

Обчислити

$$\frac{49}{3}\approx 16,333333333$$

Покрокове розв’язання

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2x+3\right)^{2}.

$$\int _{0}^{1}4x^{2}+12x+9\mathrm{d}x$$

Спочатку обчисліть невизначений інтеграл.

$$\int 4x^{2}+12x+9\mathrm{d}x$$

Інтегруйте суму почленно.

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int 12x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

Винесіть константу за дужки в кожному зі членів.

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x+12\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x^{2}\mathrm{d}x з \frac{x^{3}}{3}. Помножте 4 на \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{3}}{3}+12\int x\mathrm{d}x+\int 9\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x\mathrm{d}x з \frac{x^{2}}{2}. Помножте 12 на \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{4x^{3}}{3}+6x^{2}+\int 9\mathrm{d}x$$

Знайдіть Інтеграл 9 за допомогою таблиці загального інтеграли правила \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{4x^{3}}{3}+6x^{2}+9x$$

Визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної виразу, обчисленої для верхньої та нижньої меж інтегрування.

$$\frac{4}{3}\times 1^{3}+6\times 1^{2}+9\times 1-\left(\frac{4}{3}\times 0^{3}+6\times 0^{2}+9\times 0\right)$$

Виконайте спрощення.

$$\frac{49}{3}$$