Розв'яжіть ∫ (from 0 to 1) of (1-8v^3+16v^7)dv

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - 8 v ^ { 3 } + 16 v ^ { 7 } ) d v$$

Обчислити

$$1$$

Покрокове розв’язання

Спочатку обчисліть невизначений інтеграл.

$$\int 1-8v^{3}+16v^{7}\mathrm{d}v$$

Інтегруйте суму почленно.

$$\int 1\mathrm{d}v+\int -8v^{3}\mathrm{d}v+\int 16v^{7}\mathrm{d}v$$

Винесіть константу за дужки в кожному зі членів.

$$\int 1\mathrm{d}v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Знайдіть Інтеграл 1 за допомогою таблиці загального інтеграли правила \int a\mathrm{d}v=av.

$$v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Оскільки \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int v^{3}\mathrm{d}v з \frac{v^{4}}{4}. Помножте -8 на \frac{v^{4}}{4}.

$$v-2v^{4}+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Оскільки \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int v^{7}\mathrm{d}v з \frac{v^{8}}{8}. Помножте 16 на \frac{v^{8}}{8}.

$$v-2v^{4}+2v^{8}$$

Визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної виразу, обчисленої для верхньої та нижньої меж інтегрування.

$$1-2\times 1^{4}+2\times 1^{8}-\left(0-2\times 0^{4}+2\times 0^{8}\right)$$

Виконайте спрощення.

$$1$$