Розв'яжіть ∫ (from 0 to pi) of x*cosnsqrt{pi}x wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { \pi } x \cdot \cos n \sqrt { \pi } x d x$$

Обчислити

$$\frac{\pi ^{\frac{7}{2}}\cos(n)}{3}$$

Покрокове розв’язання

Помножте x на x, щоб отримати x^{2}.

$$\int _{0}^{\pi }x^{2}\cos(n)\sqrt{\pi }\mathrm{d}x$$

Спочатку обчисліть невизначений інтеграл.

$$\int x^{2}\cos(n)\sqrt{\pi }\mathrm{d}x$$

Винесіть за дужки константу з \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x.

$$\cos(n)\sqrt{\pi }\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x^{2}\mathrm{d}x з \frac{x^{3}}{3}.

$$\cos(n)\sqrt{\pi }\times \frac{x^{3}}{3}$$

Виконайте спрощення.

$$\frac{\sqrt{\pi }\cos(n)x^{3}}{3}$$

Визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної виразу, обчисленої для верхньої та нижньої меж інтегрування.

$$\frac{1}{3}\pi ^{\frac{1}{2}}\cos(n)\pi ^{3}-\frac{1}{3}\pi ^{\frac{1}{2}}\cos(n)\times 0^{3}$$

Виконайте спрощення.

$$\frac{\cos(n)\pi ^{\frac{7}{2}}}{3}$$

Диференціювати за n

$$-\frac{\pi ^{\frac{7}{2}}\sin(n)}{3}$$