Розв'яжіть ∫ (from - 1 to 1) of (1-y)y wrt y

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - y ) y d y$$

Обчислити

$$-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Покрокове розв’язання

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 1-y на y.

$$\int _{-1}^{1}y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Спочатку обчисліть невизначений інтеграл.

$$\int y-y^{2}\mathrm{d}y$$

Інтегруйте суму почленно.

$$\int y\mathrm{d}y+\int -y^{2}\mathrm{d}y$$

Винесіть константу за дужки в кожному зі членів.

$$\int y\mathrm{d}y-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Оскільки \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int y\mathrm{d}y з \frac{y^{2}}{2}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\int y^{2}\mathrm{d}y$$

Оскільки \int y^{k}\mathrm{d}y=\frac{y^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int y^{2}\mathrm{d}y з \frac{y^{3}}{3}. Помножте -1 на \frac{y^{3}}{3}.

$$\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{3}$$

Визначений інтеграл дорівнює різниці значень первісної виразу, обчисленої для верхньої та нижньої меж інтегрування.

$$\frac{1^{2}}{2}-\frac{1^{3}}{3}-\left(\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}\right)$$

Виконайте спрощення.

$$-\frac{2}{3}$$