Розв'яжіть ∫ (4x^7+4x+4)(28x^6+4) wrt x

$$\int ( 4 x ^ { 7 } + 4 x + 4 ) ( 28 x ^ { 6 } + 4 ) d x$$

Обчислити

$$8x^{14}+16x^{8}+16x^{7}+8x^{2}+16x+С$$

Покрокове розв’язання

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4x^{7}+4x+4 на 28x^{6}+4 і звести подібні члени.

$$\int 112x^{13}+128x^{7}+16x+112x^{6}+16\mathrm{d}x$$

Інтегруйте суму почленно.

$$\int 112x^{13}\mathrm{d}x+\int 128x^{7}\mathrm{d}x+\int 16x\mathrm{d}x+\int 112x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

Винесіть константу за дужки в кожному зі членів.

$$112\int x^{13}\mathrm{d}x+128\int x^{7}\mathrm{d}x+16\int x\mathrm{d}x+112\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x^{13}\mathrm{d}x з \frac{x^{14}}{14}. Помножте 112 на \frac{x^{14}}{14}.

$$8x^{14}+128\int x^{7}\mathrm{d}x+16\int x\mathrm{d}x+112\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x^{7}\mathrm{d}x з \frac{x^{8}}{8}. Помножте 128 на \frac{x^{8}}{8}.

$$8x^{14}+16x^{8}+16\int x\mathrm{d}x+112\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x\mathrm{d}x з \frac{x^{2}}{2}. Помножте 16 на \frac{x^{2}}{2}.

$$8x^{14}+16x^{8}+8x^{2}+112\int x^{6}\mathrm{d}x+\int 16\mathrm{d}x$$

Оскільки \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замініть \int x^{6}\mathrm{d}x з \frac{x^{7}}{7}. Помножте 112 на \frac{x^{7}}{7}.

$$8x^{14}+16x^{8}+8x^{2}+16x^{7}+\int 16\mathrm{d}x$$

Знайдіть Інтеграл 16 за допомогою таблиці загального інтеграли правила \int a\mathrm{d}x=ax.

$$8x^{14}+16x^{8}+8x^{2}+16x^{7}+16x$$

Якщо F\left(x\right) – це первісна f\left(x\right), а набір всіх antiderivatives f\left(x\right) надано F\left(x\right)+C. А потім додайте константи C\in \mathrm{R} інтеграції до результату.

$$8x^{14}+16x^{8}+16x^{7}+8x^{2}+16x+С$$

Диференціювати за x

$$16\left(7x^{6}+1\right)\left(x^{7}+x+1\right)$$