Розв'яжіть d/dθleft(cos(θ)right)

$$\frac{d}{d \theta } \left( \cos ( \theta ) \right)$$

Обчислити

$$-\sin(\theta )$$

Покрокові інструкції з використання визначення похідної

Похідна функції f\left(x\right) визначається як границя \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, коли h прямує до 0 (якщо така границя існує).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }(\cos(\theta ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\theta +h)-\cos(\theta )}{h}\right)$$

Скористайтеся формулою косинуса суми.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h+\theta )-\cos(\theta )}{h}$$

Винесіть \cos(\theta ) за дужки.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(\theta )\left(\cos(h)-1\right)-\sin(\theta )\sin(h)}{h}$$

Перепишіть межу.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(\theta )\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Під час обчислення границь скористайтеся тим фактом, що \theta прямує до константи, коли h прямує до 0.

$$\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Границя \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } дорівнює 1.

$$\cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta )$$

Щоб обчислити границю \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, спочатку помножте чисельник і знаменник на \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Помножте \cos(h)+1 на \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Скористайтеся основною тригонометричною тотожністю.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Перепишіть межу.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Границя \lim_{\theta \to 0}\frac{\sin(\theta )}{\theta } дорівнює 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Скористайтеся тим, що функція \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} неперервна в точці 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Підставте значення 0 у вираз \cos(\theta )\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(\theta ).

$$-\sin(\theta )$$

Диференціювати за θ

$$-\cos(\theta )$$