Розв'яжіть x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0,434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0,767591879$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -\frac{1}{2},1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-1\right)\left(2x+1\right) (найменше спільне кратне для 2x+1,x-1).

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Помножте x-1 на x-1, щоб отримати \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Помножте 2x+1 на 2x+1, щоб отримати \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-1 на 2x+1 і звести подібні члени.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x^{2}-x-1 на 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Додайте 4x^{2} до 6x^{2}, щоб отримати 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Додайте 4x до -3x, щоб отримати x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Відніміть 3 від 1, щоб отримати -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Відніміть 10x^{2} з обох сторін.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Додайте x^{2} до -10x^{2}, щоб отримати -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Відніміть x з обох сторін.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Додайте -2x до -x, щоб отримати -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Додайте 2 до обох сторін.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

Додайте 1 до 2, щоб обчислити 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -9 замість a, -3 замість b і 3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Піднесіть -3 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Помножте -4 на -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

Помножте 36 на 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

Додайте 9 до 108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 117.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Число, протилежне до -3, дорівнює 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

Помножте 2 на -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} за додатного значення ±. Додайте 3 до 3\sqrt{13}.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

Розділіть 3+3\sqrt{13} на -18.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} за від’ємного значення ±. Відніміть 3\sqrt{13} від 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

Розділіть 3-3\sqrt{13} на -18.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -\frac{1}{2},1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-1\right)\left(2x+1\right) (найменше спільне кратне для 2x+1,x-1).

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Помножте x-1 на x-1, щоб отримати \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Помножте 2x+1 на 2x+1, щоб отримати \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-1 на 2x+1 і звести подібні члени.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x^{2}-x-1 на 3.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

Додайте 4x^{2} до 6x^{2}, щоб отримати 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

Додайте 4x до -3x, щоб отримати x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

Відніміть 3 від 1, щоб отримати -2.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

Відніміть 10x^{2} з обох сторін.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

Додайте x^{2} до -10x^{2}, щоб отримати -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

Відніміть x з обох сторін.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

Додайте -2x до -x, щоб отримати -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

Відніміть 1 з обох сторін.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

Відніміть 1 від -2, щоб отримати -3.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

Розділіть обидві сторони на -9.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

Ділення на -9 скасовує множення на -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{-3}{-9} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{-3}{-9} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

Поділіть \frac{1}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{6}. Потім додайте \frac{1}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Щоб додати \frac{1}{3} до \frac{1}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

Відніміть \frac{1}{6} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$