Розв'яжіть x+1/x^2+1-1/2=0

$$\frac{ x+1 }{ { x }^{ 2 } +1 } - \frac{ 1 }{ 2 } =0$$

Знайдіть x

$$x=\sqrt{2}+1\approx 2,414213562$$

$$x=1-\sqrt{2}\approx -0,414213562$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Помножте обидві сторони цього рівняння на 2\left(x^{2}+1\right) (найменше спільне кратне для x^{2}+1,2).

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2 на x+1.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Помножте 2 на -\frac{1}{2}, щоб отримати -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}+1, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Відніміть 1 від 2, щоб отримати 1.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+2x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 2 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 2 до квадрата.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 4 до 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2} за додатного значення ±. Додайте -2 до 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{-2}$$

Розділіть -2+2\sqrt{2} на -2.

$$x=1-\sqrt{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{2} від -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{-2}$$

Розділіть -2-2\sqrt{2} на -2.

$$x=\sqrt{2}+1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=1-\sqrt{2} x=\sqrt{2}+1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Помножте обидві сторони цього рівняння на 2\left(x^{2}+1\right) (найменше спільне кратне для x^{2}+1,2).

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2 на x+1.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

Помножте 2 на -\frac{1}{2}, щоб отримати -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}+1, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

Відніміть 1 від 2, щоб отримати 1.

$$2x+1-x^{2}=0$$

Відніміть 1 з обох сторін. Якщо відняти будь-яке число від нуля, ви отримаєте його протилежне за знаком число.

$$2x-x^{2}=-1$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x=-1$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Розділіть 2 на -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{-1}$$

Розділіть -1 на -1.

$$x^{2}-2x=1$$

Поділіть -2 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -1. Потім додайте -1 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-2x+1=1+1$$

Додайте 1 до 1.

$$x^{2}-2x+1=2$$

Розкладіть x^{2}-2x+1 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=2$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Виконайте спрощення.

$$x-1=\sqrt{2} x-1=-\sqrt{2}$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$