Розв'яжіть frac{5-sqrt{5}}{5+sqrt{5}}

$$\frac{ 5- \sqrt{ 5 } }{ 5+ \sqrt{ 5 } }$$

Обчислити

$$\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0,381966011$$

Покрокове розв’язання

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}, помноживши чисельник і знаменник на 5-\sqrt{5}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{5}\right)\left(5-\sqrt{5}\right)}{\left(5+\sqrt{5}\right)\left(5-\sqrt{5}\right)}$$

Розглянемо \left(5+\sqrt{5}\right)\left(5-\sqrt{5}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{5}\right)\left(5-\sqrt{5}\right)}{5^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Піднесіть 5 до квадрата. Піднесіть \sqrt{5} до квадрата.

$$\frac{\left(5-\sqrt{5}\right)\left(5-\sqrt{5}\right)}{25-5}$$

Відніміть 5 від 25, щоб отримати 20.

$$\frac{\left(5-\sqrt{5}\right)\left(5-\sqrt{5}\right)}{20}$$

Помножте 5-\sqrt{5} на 5-\sqrt{5}, щоб отримати \left(5-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{5}\right)^{2}}{20}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(5-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{25-10\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{20}$$

Квадрат \sqrt{5} дорівнює 5.

$$\frac{25-10\sqrt{5}+5}{20}$$

Додайте 25 до 5, щоб обчислити 30.

$$\frac{30-10\sqrt{5}}{20}$$

Розкласти на множники

$$\frac{3 - \sqrt{5}}{2} = 0,3819660112501051$$