Розв'яжіть frac{5-sqrt{2}}{2-sqrt{2}}=

$$\frac{ 5- \sqrt{ 2 } }{ 2- \sqrt{ 2 } } =$$

Обчислити

$$\frac{3\sqrt{2}}{2}+4\approx 6,121320344$$

Покрокове розв’язання

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{5-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}, помноживши чисельник і знаменник на 2+\sqrt{2}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{2}\right)}{\left(2-\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{2}\right)}$$

Розглянемо \left(2-\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{2}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(5-\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{2}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Піднесіть 2 до квадрата. Піднесіть \sqrt{2} до квадрата.

$$\frac{\left(5-\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{2}\right)}{4-2}$$

Відніміть 2 від 4, щоб отримати 2.

$$\frac{\left(5-\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{2}\right)}{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності: помножте кожен член 5-\sqrt{2} на кожен член 2+\sqrt{2}.

$$\frac{10+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{2}$$

Додайте 5\sqrt{2} до -2\sqrt{2}, щоб отримати 3\sqrt{2}.

$$\frac{10+3\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{2}$$

Квадрат \sqrt{2} дорівнює 2.

$$\frac{10+3\sqrt{2}-2}{2}$$

Відніміть 2 від 10, щоб отримати 8.

$$\frac{8+3\sqrt{2}}{2}$$