Розв'яжіть frac{3sqrt{2}+sqrt{5}}{sqrt{2}+1}

$$\frac{ 3 \sqrt{ 2 } + \sqrt{ 5 } }{ \sqrt{ 2 } +1 }$$

Обчислити

$$\sqrt{10}+6-\sqrt{5}-3\sqrt{2}\approx 2,683568996$$

Покрокове розв’язання

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+1}, помноживши чисельник і знаменник на \sqrt{2}-1.

$$\frac{\left(3\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}$$

Розглянемо \left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(3\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}$$

Піднесіть \sqrt{2} до квадрата. Піднесіть 1 до квадрата.

$$\frac{\left(3\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{2-1}$$

Відніміть 1 від 2, щоб отримати 1.

$$\frac{\left(3\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{1}$$

Результат ділення будь-якого числа на одиницю дорівнює самому числу.

$$\left(3\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності: помножте кожен член 3\sqrt{2}+\sqrt{5} на кожен член \sqrt{2}-1.

$$3\left(\sqrt{2}\right)^{2}-3\sqrt{2}+\sqrt{5}\sqrt{2}-\sqrt{5}$$

Квадрат \sqrt{2} дорівнює 2.

$$3\times 2-3\sqrt{2}+\sqrt{5}\sqrt{2}-\sqrt{5}$$

Помножте 3 на 2, щоб отримати 6.

$$6-3\sqrt{2}+\sqrt{5}\sqrt{2}-\sqrt{5}$$

Щоб перемножте \sqrt{5} та \sqrt{2}, перемножте номери в квадратних корені.

$$6-3\sqrt{2}+\sqrt{10}-\sqrt{5}$$