Розв'яжіть 2x-1/x-x+3/2x+1=2

$$\frac{ 2x-1 }{ x } - \frac{ x+3 }{ 2x+1 } =2$$

Знайдіть x

$$x=\frac{\sqrt{21}-5}{2}\approx -0,208712153$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}-5}{2}\approx -4,791287847$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -\frac{1}{2},0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(2x+1\right) (найменше спільне кратне для x,2x+1).

$$\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)-x\left(x+3\right)=2x\left(2x+1\right)$$

Розглянемо \left(2x+1\right)\left(2x-1\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Піднесіть 1 до квадрата.

$$\left(2x\right)^{2}-1-x\left(x+3\right)=2x\left(2x+1\right)$$

Розкладіть \left(2x\right)^{2}

$$2^{2}x^{2}-1-x\left(x+3\right)=2x\left(2x+1\right)$$

Обчисліть 2 у степені 2 і отримайте 4.

$$4x^{2}-1-x\left(x+3\right)=2x\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x+3.

$$4x^{2}-1-\left(x^{2}+3x\right)=2x\left(2x+1\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}+3x, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$4x^{2}-1-x^{2}-3x=2x\left(2x+1\right)$$

Додайте 4x^{2} до -x^{2}, щоб отримати 3x^{2}.

$$3x^{2}-1-3x=2x\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x на 2x+1.

$$3x^{2}-1-3x=4x^{2}+2x$$

Відніміть 4x^{2} з обох сторін.

$$3x^{2}-1-3x-4x^{2}=2x$$

Додайте 3x^{2} до -4x^{2}, щоб отримати -x^{2}.

$$-x^{2}-1-3x=2x$$

Відніміть 2x з обох сторін.

$$-x^{2}-1-3x-2x=0$$

Додайте -3x до -2x, щоб отримати -5x.

$$-x^{2}-1-5x=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}-5x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, -5 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 25 до -4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{5±\sqrt{21}}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{21}}{-2} за додатного значення ±. Додайте 5 до \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{-2}$$

Розділіть 5+\sqrt{21} на -2.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-5}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{21}}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{21} від 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{-2}$$

Розділіть 5-\sqrt{21} на -2.

$$x=\frac{\sqrt{21}-5}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-5}{2} x=\frac{\sqrt{21}-5}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -\frac{1}{2},0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(2x+1\right) (найменше спільне кратне для x,2x+1).

$$\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)-x\left(x+3\right)=2x\left(2x+1\right)$$

Розглянемо \left(2x+1\right)\left(2x-1\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Піднесіть 1 до квадрата.

$$\left(2x\right)^{2}-1-x\left(x+3\right)=2x\left(2x+1\right)$$

Розкладіть \left(2x\right)^{2}

$$2^{2}x^{2}-1-x\left(x+3\right)=2x\left(2x+1\right)$$

Обчисліть 2 у степені 2 і отримайте 4.

$$4x^{2}-1-x\left(x+3\right)=2x\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x+3.

$$4x^{2}-1-\left(x^{2}+3x\right)=2x\left(2x+1\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}+3x, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$4x^{2}-1-x^{2}-3x=2x\left(2x+1\right)$$

Додайте 4x^{2} до -x^{2}, щоб отримати 3x^{2}.

$$3x^{2}-1-3x=2x\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x на 2x+1.

$$3x^{2}-1-3x=4x^{2}+2x$$

Відніміть 4x^{2} з обох сторін.

$$3x^{2}-1-3x-4x^{2}=2x$$

Додайте 3x^{2} до -4x^{2}, щоб отримати -x^{2}.

$$-x^{2}-1-3x=2x$$

Відніміть 2x з обох сторін.

$$-x^{2}-1-3x-2x=0$$

Додайте -3x до -2x, щоб отримати -5x.

$$-x^{2}-1-5x=0$$

Додайте 1 до обох сторін. Якщо додати нуль до будь-якого числа, воно не зміниться.

$$-x^{2}-5x=1$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}-5x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-1}\right)x=\frac{1}{-1}$$

Розділіть -5 на -1.

$$x^{2}+5x=\frac{1}{-1}$$

Розділіть 1 на -1.

$$x^{2}+5x=-1$$

Поділіть 5 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{5}{2}. Потім додайте \frac{5}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{5}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}$$

Додайте -1 до \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{21}{4}$$

Розкладіть x^{2}+5x+\frac{25}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

Відніміть \frac{5}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{21}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{21}-5}{2}$$