Розв'яжіть frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

Знайдіть b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

Покрокове розв’язання ірраціональних рівнянь

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}, помноживши чисельник і знаменник на 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Розглянемо \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Піднесіть 2 до квадрата. Піднесіть \sqrt{5} до квадрата.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Відніміть 5 від 4, щоб отримати -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Помножте 2+\sqrt{5} на 2+\sqrt{5}, щоб отримати \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Квадрат \sqrt{5} дорівнює 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Додайте 4 до 5, щоб обчислити 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Якщо поділити число на –1, ви отримаєте протилежне число. Щоб знайти протилежне виразу 9+4\sqrt{5}, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}, помноживши чисельник і знаменник на 2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

Розглянемо \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

Піднесіть 2 до квадрата. Піднесіть \sqrt{5} до квадрата.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

Відніміть 5 від 4, щоб отримати -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Помножте 2-\sqrt{5} на 2-\sqrt{5}, щоб отримати \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Квадрат \sqrt{5} дорівнює 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Додайте 4 до 5, щоб обчислити 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

Якщо поділити число на –1, ви отримаєте протилежне число. Щоб знайти протилежне виразу 9-4\sqrt{5}, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Відніміть 9 від -9, щоб отримати -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

Додайте -4\sqrt{5} до 4\sqrt{5}, щоб отримати 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

Перенесіть усі змінні члени до лівої частини рівняння.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

Відніміть a з обох сторін.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

Розділіть обидві сторони на 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Ділення на 5 скасовує множення на 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

Знайдіть a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$