Розв'яжіть frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Обчислити

$$8\sqrt{3}\approx 13,856406461$$

Покрокове розв’язання

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}, помноживши чисельник і знаменник на 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Розглянемо \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Піднесіть 2 до квадрата. Піднесіть \sqrt{3} до квадрата.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Відніміть 3 від 4, щоб отримати 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Результат ділення будь-якого числа на одиницю дорівнює самому числу.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Помножте 2+\sqrt{3} на 2+\sqrt{3}, щоб отримати \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}, помноживши чисельник і знаменник на 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Розглянемо \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Піднесіть 2 до квадрата. Піднесіть \sqrt{3} до квадрата.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Відніміть 3 від 4, щоб отримати 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Результат ділення будь-якого числа на одиницю дорівнює самому числу.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Помножте 2-\sqrt{3} на 2-\sqrt{3}, щоб отримати \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Додайте 4 до 3, щоб обчислити 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Додайте 4 до 3, щоб обчислити 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу 7-4\sqrt{3}, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

Число, протилежне до -4\sqrt{3}, дорівнює 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Відніміть 7 від 7, щоб отримати 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Додайте 4\sqrt{3} до 4\sqrt{3}, щоб отримати 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$