Розв'яжіть -1/x-1+1/x+1=2/x+2

$$\frac{ -1 }{ x-1 } + \frac{ 1 }{ x+1 } = \frac{ 2 }{ x+2 }$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -2,-1,1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) (найменше спільне кратне для x-1,x+1,x+2).

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+1 на x+2 і звести подібні члени.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x^{2}+3x+2 на -1.

$$-x^{2}-3x-2+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-1 на x+2 і звести подібні члени.

$$-x^{2}-3x-2+x^{2}+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Додайте -x^{2} до x^{2}, щоб отримати 0.

$$-3x-2+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Додайте -3x до x, щоб отримати -2x.

$$-2x-2-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Відніміть 2 від -2, щоб отримати -4.

$$-2x-4=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x^{2}-1 на 2.

$$-2x-4=2x^{2}-2$$

Відніміть 2x^{2} з обох сторін.

$$-2x-4-2x^{2}=-2$$

Додайте 2 до обох сторін.

$$-2x-4-2x^{2}+2=0$$

Додайте -4 до 2, щоб обчислити -2.

$$-2x-2-2x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-2x^{2}-2x-2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -2 замість a, -2 замість b і -2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте -4 на -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 8 на -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16}}{2\left(-2\right)}$$

Додайте 4 до -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-12}}{2\left(-2\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із -12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 2 на -2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4} за додатного значення ±. Додайте 2 до 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{3}i}{-4}$$

Розділіть 2+2i\sqrt{3} на -4.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{3} від 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i+2}{-4}$$

Розділіть 2-2i\sqrt{3} на -4.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -2,-1,1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) (найменше спільне кратне для x-1,x+1,x+2).

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+1 на x+2 і звести подібні члени.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x^{2}+3x+2 на -1.

$$-x^{2}-3x-2+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-1 на x+2 і звести подібні члени.

$$-x^{2}-3x-2+x^{2}+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Додайте -x^{2} до x^{2}, щоб отримати 0.

$$-3x-2+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Додайте -3x до x, щоб отримати -2x.

$$-2x-2-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Відніміть 2 від -2, щоб отримати -4.

$$-2x-4=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x^{2}-1 на 2.

$$-2x-4=2x^{2}-2$$

Відніміть 2x^{2} з обох сторін.

$$-2x-4-2x^{2}=-2$$

Додайте 4 до обох сторін.

$$-2x-2x^{2}=-2+4$$

Додайте -2 до 4, щоб обчислити 2.

$$-2x-2x^{2}=2$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}-2x=2$$

Розділіть обидві сторони на -2.

$$\frac{-2x^{2}-2x}{-2}=\frac{2}{-2}$$

Ділення на -2 скасовує множення на -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-2}\right)x=\frac{2}{-2}$$

Розділіть -2 на -2.

$$x^{2}+x=\frac{2}{-2}$$

Розділіть 2 на -2.

$$x^{2}+x=-1$$

Поділіть 1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{2}. Потім додайте \frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Додайте -1 до \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Розкладіть x^{2}+x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$