Розв'яжіть {left(3/2x-frac{9/3right)}^2+left(x-3right)^2}{13}=9/4

$$\frac{ { \left( \frac{ 3 }{ 2 } x- \frac{ 9 }{ 3 } \right) }^{ 2 } + { \left(x-3 \right) }^{ 2 } }{ 13 } = \frac{ 9 }{ 4 }$$

Знайдіть x

$$x = \frac{3 \sqrt{165} + 30}{13} \approx 5,271976749$$

$$x=\frac{30-3\sqrt{165}}{13}\approx -0,656592134$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Помножте обидві сторони на 13.

$$\left(\frac{3}{2}x-\frac{9}{3}\right)^{2}+\left(x-3\right)^{2}=\frac{9}{4}\times 13$$

Розділіть 9 на 3, щоб отримати 3.

$$\left(\frac{3}{2}x-3\right)^{2}+\left(x-3\right)^{2}=\frac{9}{4}\times 13$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(\frac{3}{2}x-3\right)^{2}.

$$\frac{9}{4}x^{2}-9x+9+\left(x-3\right)^{2}=\frac{9}{4}\times 13$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x-3\right)^{2}.

$$\frac{9}{4}x^{2}-9x+9+x^{2}-6x+9=\frac{9}{4}\times 13$$

Додайте \frac{9}{4}x^{2} до x^{2}, щоб отримати \frac{13}{4}x^{2}.

$$\frac{13}{4}x^{2}-9x+9-6x+9=\frac{9}{4}\times 13$$

Додайте -9x до -6x, щоб отримати -15x.

$$\frac{13}{4}x^{2}-15x+9+9=\frac{9}{4}\times 13$$

Додайте 9 до 9, щоб обчислити 18.

$$\frac{13}{4}x^{2}-15x+18=\frac{9}{4}\times 13$$

Помножте \frac{9}{4} на 13, щоб отримати \frac{117}{4}.

$$\frac{13}{4}x^{2}-15x+18=\frac{117}{4}$$

Відніміть \frac{117}{4} з обох сторін.

$$\frac{13}{4}x^{2}-15x+18-\frac{117}{4}=0$$

Відніміть \frac{117}{4} від 18, щоб отримати -\frac{45}{4}.

$$\frac{13}{4}x^{2}-15x-\frac{45}{4}=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте \frac{13}{4} замість a, -15 замість b і -\frac{45}{4} замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times \frac{13}{4}\left(-\frac{45}{4}\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Піднесіть -15 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times \frac{13}{4}\left(-\frac{45}{4}\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Помножте -4 на \frac{13}{4}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-13\left(-\frac{45}{4}\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Помножте -13 на -\frac{45}{4}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+\frac{585}{4}}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Додайте 225 до \frac{585}{4}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\frac{1485}{4}}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Видобудьте квадратний корінь із \frac{1485}{4}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\frac{3\sqrt{165}}{2}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Число, протилежне до -15, дорівнює 15.

$$x=\frac{15±\frac{3\sqrt{165}}{2}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Помножте 2 на \frac{13}{4}.

$$x=\frac{15±\frac{3\sqrt{165}}{2}}{\frac{13}{2}}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{15±\frac{3\sqrt{165}}{2}}{\frac{13}{2}} за додатного значення ±. Додайте 15 до \frac{3\sqrt{165}}{2}.

$$x=\frac{\frac{3\sqrt{165}}{2}+15}{\frac{13}{2}}$$

Розділіть 15+\frac{3\sqrt{165}}{2} на \frac{13}{2}, помноживши 15+\frac{3\sqrt{165}}{2} на величину, обернену до \frac{13}{2}.

$$x=\frac{3\sqrt{165}+30}{13}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{15±\frac{3\sqrt{165}}{2}}{\frac{13}{2}} за від’ємного значення ±. Відніміть \frac{3\sqrt{165}}{2} від 15.

$$x=\frac{-\frac{3\sqrt{165}}{2}+15}{\frac{13}{2}}$$

Розділіть 15-\frac{3\sqrt{165}}{2} на \frac{13}{2}, помноживши 15-\frac{3\sqrt{165}}{2} на величину, обернену до \frac{13}{2}.

$$x=\frac{30-3\sqrt{165}}{13}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3\sqrt{165}+30}{13} x=\frac{30-3\sqrt{165}}{13}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Помножте обидві сторони на 13.

$$\left(\frac{3}{2}x-\frac{9}{3}\right)^{2}+\left(x-3\right)^{2}=\frac{9}{4}\times 13$$

Розділіть 9 на 3, щоб отримати 3.

$$\left(\frac{3}{2}x-3\right)^{2}+\left(x-3\right)^{2}=\frac{9}{4}\times 13$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(\frac{3}{2}x-3\right)^{2}.

$$\frac{9}{4}x^{2}-9x+9+\left(x-3\right)^{2}=\frac{9}{4}\times 13$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(x-3\right)^{2}.

$$\frac{9}{4}x^{2}-9x+9+x^{2}-6x+9=\frac{9}{4}\times 13$$

Додайте \frac{9}{4}x^{2} до x^{2}, щоб отримати \frac{13}{4}x^{2}.

$$\frac{13}{4}x^{2}-9x+9-6x+9=\frac{9}{4}\times 13$$

Додайте -9x до -6x, щоб отримати -15x.

$$\frac{13}{4}x^{2}-15x+9+9=\frac{9}{4}\times 13$$

Додайте 9 до 9, щоб обчислити 18.

$$\frac{13}{4}x^{2}-15x+18=\frac{9}{4}\times 13$$

Помножте \frac{9}{4} на 13, щоб отримати \frac{117}{4}.

$$\frac{13}{4}x^{2}-15x+18=\frac{117}{4}$$

Відніміть 18 з обох сторін.

$$\frac{13}{4}x^{2}-15x=\frac{117}{4}-18$$

Відніміть 18 від \frac{117}{4}, щоб отримати \frac{45}{4}.

$$\frac{13}{4}x^{2}-15x=\frac{45}{4}$$

Розділіть обидві сторони рівняння на \frac{13}{4}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$\frac{\frac{13}{4}x^{2}-15x}{\frac{13}{4}}=\frac{\frac{45}{4}}{\frac{13}{4}}$$

Ділення на \frac{13}{4} скасовує множення на \frac{13}{4}.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{\frac{13}{4}}\right)x=\frac{\frac{45}{4}}{\frac{13}{4}}$$

Розділіть -15 на \frac{13}{4}, помноживши -15 на величину, обернену до \frac{13}{4}.

$$x^{2}-\frac{60}{13}x=\frac{\frac{45}{4}}{\frac{13}{4}}$$

Розділіть \frac{45}{4} на \frac{13}{4}, помноживши \frac{45}{4} на величину, обернену до \frac{13}{4}.

$$x^{2}-\frac{60}{13}x=\frac{45}{13}$$

Поділіть -\frac{60}{13} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{30}{13}. Потім додайте -\frac{30}{13} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{60}{13}x+\left(-\frac{30}{13}\right)^{2}=\frac{45}{13}+\left(-\frac{30}{13}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{30}{13} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{60}{13}x+\frac{900}{169}=\frac{45}{13}+\frac{900}{169}$$

Щоб додати \frac{45}{13} до \frac{900}{169}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{60}{13}x+\frac{900}{169}=\frac{1485}{169}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{60}{13}x+\frac{900}{169} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{30}{13}\right)^{2}=\frac{1485}{169}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{30}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1485}{169}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{30}{13}=\frac{3\sqrt{165}}{13} x-\frac{30}{13}=-\frac{3\sqrt{165}}{13}$$

Додайте \frac{30}{13} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{3\sqrt{165}+30}{13} x=\frac{30-3\sqrt{165}}{13}$$