Розв'яжіть x/x-1=3x+1/x-1

$$\frac { x } { x - 1 } = 3 x + \frac { 1 } { x - 1 }$$

Знайдіть x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати 1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x-1.

$$x=3x\left(x-1\right)+1$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 3x на x-1.

$$x=3x^{2}-3x+1$$

Відніміть 3x^{2} з обох сторін.

$$x-3x^{2}=-3x+1$$

Додайте 3x до обох сторін.

$$x-3x^{2}+3x=1$$

Додайте x до 3x, щоб отримати 4x.

$$4x-3x^{2}=1$$

Відніміть 1 з обох сторін.

$$4x-3x^{2}-1=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-3x^{2}+4x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -3 замість a, 4 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Піднесіть 4 до квадрата.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте -4 на -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 12 на -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\left(-3\right)}$$

Додайте 16 до -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 2 на -3.

$$x=\frac{-4±2}{-6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±2}{-6} за додатного значення ±. Додайте -4 до 2.

$$x=-\frac{2}{-6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-2}{-6} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±2}{-6} за від’ємного значення ±. Відніміть 2 від -4.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Розділіть -6 на -6.

$$x=1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1}{3} x=1$$

Змінна x не може дорівнювати 1.

$$x=\frac{1}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати 1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x-1.

$$x=3x\left(x-1\right)+1$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 3x на x-1.

$$x=3x^{2}-3x+1$$

Відніміть 3x^{2} з обох сторін.

$$x-3x^{2}=-3x+1$$

Додайте 3x до обох сторін.

$$x-3x^{2}+3x=1$$

Додайте x до 3x, щоб отримати 4x.

$$4x-3x^{2}=1$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+4x=1$$

Розділіть обидві сторони на -3.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

Ділення на -3 скасовує множення на -3.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=\frac{1}{-3}$$

Розділіть 4 на -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{1}{-3}$$

Розділіть 1 на -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Поділіть -\frac{4}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{2}{3}. Потім додайте -\frac{2}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{2}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Щоб додати -\frac{1}{3} до \frac{4}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Додайте \frac{2}{3} до обох сторін цього рівняння.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Змінна x не може дорівнювати 1.

$$x=\frac{1}{3}$$