Розв'яжіть x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Знайдіть x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте перше рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 21 (найменше спільне кратне для 7,3).

$$3x+7y=105$$

Розгляньте друге рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 14.

$$-x+42y=364$$

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$3x+7y=105$$

Відніміть 7y від обох сторін цього рівняння.

$$3x=-7y+105$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Помножте \frac{1}{3} на -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Підставте -\frac{7y}{3}+35 замість x в іншому рівнянні: -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Помножте -1 на -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Додайте \frac{7y}{3} до 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Додайте 35 до обох сторін цього рівняння.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Розділіть обидві сторони рівняння на \frac{133}{3}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$y=9$$

Підставте 9 замість y у рівняння x=-\frac{7}{3}y+35. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Помножте -\frac{7}{3} на 9.

$$x=-21+35$$

Додайте 35 до -21.

$$x=14$$

Систему розв’язано.

$$x=14,y=9$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте перше рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 21 (найменше спільне кратне для 7,3).

$$3x+7y=105$$

Розгляньте друге рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 14.

$$-x+42y=364$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

У випадку матриці \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) розмірності 2\times 2 обернена матриця має вигляд \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), тому це матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=14,y=9$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте перше рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 21 (найменше спільне кратне для 7,3).

$$3x+7y=105$$

Розгляньте друге рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 14.

$$-x+42y=364$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Щоб отримати рівність між 3x і -x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на -1, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Виконайте спрощення.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Знайдіть різницю -3x+126y=1092 і -3x-7y=-105. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Додайте -3x до 3x. Члени -3x та 3x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Додайте -7y до -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Додайте -105 до -1092.

$$-133y=-1197$$

Розділіть обидві сторони на -133.

$$y=9$$

Підставте 9 замість y у рівняння -x+42y=364. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$-x+42\times 9=364$$

Помножте 42 на 9.

$$-x+378=364$$

Відніміть 378 від обох сторін цього рівняння.

$$-x=-14$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$x=14$$

Систему розв’язано.

$$x=14,y=9$$