Розв'яжіть x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Знайдіть x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте перше рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 20 (найменше спільне кратне для 5,4).

$$4x=5y$$

Розділіть обидві сторони на 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Помножте \frac{1}{4} на 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Підставте \frac{5y}{4} замість x в іншому рівнянні: -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Додайте -\frac{5y}{4} до y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Помножте обидві сторони на -4.

$$y=12$$

Підставте 12 замість y у рівняння x=\frac{5}{4}y. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Помножте \frac{5}{4} на 12.

$$x=15$$

Систему розв’язано.

$$x=15,y=12$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте перше рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 20 (найменше спільне кратне для 5,4).

$$4x=5y$$

Відніміть 5y з обох сторін.

$$4x-5y=0$$

Розгляньте друге рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 3.

$$y=x-3$$

Відніміть x з обох сторін.

$$y-x=-3$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=15,y=12$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте перше рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 20 (найменше спільне кратне для 5,4).

$$4x=5y$$

Відніміть 5y з обох сторін.

$$4x-5y=0$$

Розгляньте друге рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 3.

$$y=x-3$$

Відніміть x з обох сторін.

$$y-x=-3$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Щоб отримати рівність між 4x і -x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на -1, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Виконайте спрощення.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Знайдіть різницю -4x+4y=-12 і -4x+5y=0. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Додайте -4x до 4x. Члени -4x та 4x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$5y-4y=12$$

Додайте 5y до -4y.

$$y=12$$

Підставте 12 замість y у рівняння -x+y=-3. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$-x+12=-3$$

Відніміть 12 від обох сторін цього рівняння.

$$-x=-15$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$x=15$$

Систему розв’язано.

$$x=15,y=12$$