Розв'яжіть x/1-x=1-x/1

$$\frac { x } { 1 - x } = \frac { 1 - x } { 1 }$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0,381966011$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати 1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на -x+1.

$$x=\left(-x+1\right)\left(1-x\right)$$

Помножте -x+1 на 1-x, щоб отримати \left(-x+1\right)^{2}.

$$x=\left(-x+1\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(-x+1\right)^{2}.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Додайте 2x до обох сторін.

$$x-x^{2}+2x=1$$

Додайте x до 2x, щоб отримати 3x.

$$3x-x^{2}=1$$

Відніміть 1 з обох сторін.

$$3x-x^{2}-1=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 3 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 9 до -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} за додатного значення ±. Додайте -3 до \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Розділіть -3+\sqrt{5} на -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{5} від -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Розділіть -3-\sqrt{5} на -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати 1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на -x+1.

$$x=\left(-x+1\right)\left(1-x\right)$$

Помножте -x+1 на 1-x, щоб отримати \left(-x+1\right)^{2}.

$$x=\left(-x+1\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(-x+1\right)^{2}.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Додайте 2x до обох сторін.

$$x-x^{2}+2x=1$$

Додайте x до 2x, щоб отримати 3x.

$$3x-x^{2}=1$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=1$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Розділіть 3 на -1.

$$x^{2}-3x=\frac{1}{-1}$$

Розділіть 1 на -1.

$$x^{2}-3x=-1$$

Поділіть -3 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{2}. Потім додайте -\frac{3}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$$

Додайте -1 до \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$$

Розкладіть x^{2}-3x+\frac{9}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Додайте \frac{3}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$