Розв'яжіть x^2/9-4/3x=-2

$$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { 4 } { 3 } x = - 2$$

Знайдіть x

$$x=3\sqrt{2}+6\approx 10,242640687$$

$$x=6-3\sqrt{2}\approx 1,757359313$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Додайте 2 до обох сторін цього рівняння.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=-2-\left(-2\right)$$

Якщо відняти -2 від самого себе, залишиться 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=0$$

Відніміть -2 від 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x+2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте \frac{1}{9} замість a, -\frac{4}{3} замість b і 2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Щоб піднести -\frac{4}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Помножте -4 на \frac{1}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Помножте -\frac{4}{9} на 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16-8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Щоб додати \frac{16}{9} до -\frac{8}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Видобудьте квадратний корінь із \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Число, протилежне до -\frac{4}{3}, дорівнює \frac{4}{3}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Помножте 2 на \frac{1}{9}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} за додатного значення ±. Додайте \frac{4}{3} до \frac{2\sqrt{2}}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+4}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Розділіть \frac{4+2\sqrt{2}}{3} на \frac{2}{9}, помноживши \frac{4+2\sqrt{2}}{3} на величину, обернену до \frac{2}{9}.

$$x=3\sqrt{2}+6$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} за від’ємного значення ±. Відніміть \frac{2\sqrt{2}}{3} від \frac{4}{3}.

$$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Розділіть \frac{4-2\sqrt{2}}{3} на \frac{2}{9}, помноживши \frac{4-2\sqrt{2}}{3} на величину, обернену до \frac{2}{9}.

$$x=6-3\sqrt{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Помножте обидві сторони на 9.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x}{\frac{1}{9}}=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Ділення на \frac{1}{9} скасовує множення на \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{9}}\right)x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Розділіть -\frac{4}{3} на \frac{1}{9}, помноживши -\frac{4}{3} на величину, обернену до \frac{1}{9}.

$$x^{2}-12x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Розділіть -2 на \frac{1}{9}, помноживши -2 на величину, обернену до \frac{1}{9}.

$$x^{2}-12x=-18$$

Поділіть -12 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -6. Потім додайте -6 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-18+\left(-6\right)^{2}$$

Піднесіть -6 до квадрата.

$$x^{2}-12x+36=-18+36$$

Додайте -18 до 36.

$$x^{2}-12x+36=18$$

Розкладіть x^{2}-12x+36 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=18$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{18}$$

Виконайте спрощення.

$$x-6=3\sqrt{2} x-6=-3\sqrt{2}$$

Додайте 6 до обох сторін цього рівняння.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$