Розв'яжіть x^2/3+4/3x-7<0

$$\frac { x ^ { 2 } } { 3 } + \frac { 4 } { 3 } x - 7 < 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-7,3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Помножте обидві сторони цього рівняння на 3. Оскільки 3 додатне, напрямок нерівність залишається без змін.

$$x^{2}+4x-21<0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}+4x-21=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 1 на a, 4 – на b, а -21 – на c.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\left(-21\right)}}{2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-4±10}{2}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±10}{2} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=3 x=-7$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$\left(x-3\right)\left(x+7\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-3 і x+7 мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-3 має додатне значення, а x+7 – від’ємне.

$$x-3>0 x+7<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x+7 має додатне значення, а x-3 – від’ємне.

$$x+7>0 x-3<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(-7,3\right).

$$x\in \left(-7,3\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(-7,3\right)$$