Розв'яжіть frac{isqrt{2}-5}{i+sqrt{2}}

$$\frac { i \sqrt { 2 } - 5 } { i + \sqrt { 2 } }$$

Обчислити

$$-\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{7}{3}i\approx -1,885618083+2,333333333i$$

Покрокове розв’язання

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{i\sqrt{2}-5}{i+\sqrt{2}}, помноживши чисельник і знаменник на i-\sqrt{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{\left(i+\sqrt{2}\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}$$

Розглянемо \left(i+\sqrt{2}\right)\left(i-\sqrt{2}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{i^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Піднесіть i до квадрата. Піднесіть \sqrt{2} до квадрата.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{-1-2}$$

Відніміть 2 від -1, щоб отримати -3.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{-3}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності: помножте кожен член i\sqrt{2}-5 на кожен член i-\sqrt{2}.

$$\frac{-\sqrt{2}-i\left(\sqrt{2}\right)^{2}-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Квадрат \sqrt{2} дорівнює 2.

$$\frac{-\sqrt{2}-i\times 2-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Помножте -i на 2, щоб отримати -2i.

$$\frac{-\sqrt{2}-2i-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Відніміть 5i від -2i, щоб отримати -7i.

$$\frac{-\sqrt{2}-7i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Додайте -\sqrt{2} до 5\sqrt{2}, щоб отримати 4\sqrt{2}.

$$\frac{4\sqrt{2}-7i}{-3}$$

Помножте чисельник і знаменник на –1.

$$\frac{-4\sqrt{2}+7i}{3}$$

Дійсна частина

$$-\frac{4 \sqrt{2}}{3} = -1,885618083164127$$