Розв'яжіть f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Знайдіть f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте перше рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 33 (найменше спільне кратне для 11,33).

$$3f=g$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Підставте \frac{g}{3} замість f в іншому рівнянні: f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Додайте \frac{g}{3} до g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Розділіть обидві сторони рівняння на \frac{4}{3}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$g=30$$

Підставте 30 замість g у рівняння f=\frac{1}{3}g. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно f.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Помножте \frac{1}{3} на 30.

$$f=10$$

Систему розв’язано.

$$f=10,g=30$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте перше рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 33 (найменше спільне кратне для 11,33).

$$3f=g$$

Відніміть g з обох сторін.

$$3f-g=0$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці f і g.

$$f=10,g=30$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте перше рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 33 (найменше спільне кратне для 11,33).

$$3f=g$$

Відніміть g з обох сторін.

$$3f-g=0$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Щоб отримати рівність між 3f і f, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 1, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Виконайте спрощення.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Знайдіть різницю 3f+3g=120 і 3f-g=0. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Додайте 3f до -3f. Члени 3f та -3f відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$-g-3g=-120$$

Додайте -g до -3g.

$$-4g=-120$$

Розділіть обидві сторони на -4.

$$g=30$$

Підставте 30 замість g у рівняння f+g=40. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно f.

$$f+30=40$$

Відніміть 30 від обох сторін цього рівняння.

$$f=10$$

Систему розв’язано.

$$f=10,g=30$$