Розв'яжіть 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Знайдіть x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -15,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на 4x\left(x+15\right) (найменше спільне кратне для x,x+15,4).

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4x+60 на 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Помножте 4 на 75, щоб отримати 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Помножте 4 на \frac{1}{4}, щоб отримати 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Додайте 300x до 15x, щоб отримати 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Відніміть 315x з обох сторін.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Додайте 300x до -315x, щоб отримати -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -x^{2}+ax+bx+4500. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -15.

$$a=60 b=-75$$

Перепишіть -x^{2}-15x+4500 як \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

x на першій та 75 в друге групу.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Винесіть за дужки спільний член -x+60, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть -x+60=0 та x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -15,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на 4x\left(x+15\right) (найменше спільне кратне для x,x+15,4).

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4x+60 на 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Помножте 4 на 75, щоб отримати 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Помножте 4 на \frac{1}{4}, щоб отримати 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Додайте 300x до 15x, щоб отримати 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Відніміть 315x з обох сторін.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Додайте 300x до -315x, щоб отримати -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, -15 замість b і 4500 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть -15 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 225 до 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

Число, протилежне до -15, дорівнює 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{15±135}{-2} за додатного значення ±. Додайте 15 до 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Розділіть 150 на -2.

$$x=-75$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{15±135}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 135 від 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Розділіть -120 на -2.

$$x=60$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-75 x=60$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -15,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на 4x\left(x+15\right) (найменше спільне кратне для x,x+15,4).

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4x+60 на 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Помножте 4 на 75, щоб отримати 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Помножте 4 на \frac{1}{4}, щоб отримати 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Додайте 300x до 15x, щоб отримати 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Відніміть 315x з обох сторін.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Додайте 300x до -315x, щоб отримати -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Відніміть 4500 з обох сторін. Якщо відняти будь-яке число від нуля, ви отримаєте його протилежне за знаком число.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Розділіть -15 на -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Розділіть -4500 на -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Поділіть 15 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{15}{2}. Потім додайте \frac{15}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{15}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Додайте 4500 до \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Розкладіть x^{2}+15x+\frac{225}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Відніміть \frac{15}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=60 x=-75$$