Розв'яжіть frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

Знайдіть k

$$k=-1$$

$$k=1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Помножте обидві сторони цього рівняння на 4\left(3k^{2}+1\right)^{2} (найменше спільне кратне для \left(3k^{2}+1\right)^{2},4).

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(k^{2}+1\right)^{2}.

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Щоб піднести до степеня іншу степінь, перемножте показники. Помножте 2 і 2, щоб отримати 4.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 6 на k^{4}+2k^{2}+1.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(3k^{2}-1\right)^{2}.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Щоб піднести до степеня іншу степінь, перемножте показники. Помножте 2 і 2, щоб отримати 4.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Щоб знайти протилежне виразу 9k^{4}-6k^{2}+1, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Додайте 6k^{4} до -9k^{4}, щоб отримати -3k^{4}.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Додайте 12k^{2} до 6k^{2}, щоб отримати 18k^{2}.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Відніміть 1 від 6, щоб отримати 5.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4 на -3k^{4}+18k^{2}+5.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(3k^{2}+1\right)^{2}.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

Щоб піднести до степеня іншу степінь, перемножте показники. Помножте 2 і 2, щоб отримати 4.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 5 на 9k^{4}+6k^{2}+1.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

Відніміть 45k^{4} з обох сторін.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

Додайте -12k^{4} до -45k^{4}, щоб отримати -57k^{4}.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

Відніміть 30k^{2} з обох сторін.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

Додайте 72k^{2} до -30k^{2}, щоб отримати 42k^{2}.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

Відніміть 5 з обох сторін.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

Відніміть 5 від 20, щоб отримати 15.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

Підставте t для k^{2}.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі -57 на a, 42 – на b, а 15 – на c.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

Розв’яжіть рівняння t=\frac{-42±72}{-114} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

Оскільки k=t^{2}, вони отримані під час оцінювання t k=±\sqrt{t}.

$$k=1 k=-1$$