Розв'яжіть frac{6+sqrt{27}}{4-sqrt{3}}

$$\frac { 6 + \sqrt { 27 } } { 4 - \sqrt { 3 } }$$

Обчислити

$$\frac{18\sqrt{3}+33}{13}\approx 4,936685734$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть 27=3^{2}\times 3 на множники. Перепишіть квадратний корінь із добутку \sqrt{3^{2}\times 3} як добуток квадратних коренів \sqrt{3^{2}}\sqrt{3}. Видобудьте квадратний корінь із 3^{2}.

$$\frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$$

Звільніть від ірраціональності знаменник дробу \frac{6+3\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}: помножте чисельник і знаменник на 4+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}$$

Розглянемо \left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Піднесіть 4 до квадрата. Піднесіть \sqrt{3} до квадрата.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{16-3}$$

Відніміть 3 від 16, щоб отримати 13.

$$\frac{\left(6+3\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)}{13}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності: помножте кожен член 6+3\sqrt{3} на кожен член 4+\sqrt{3}.

$$\frac{24+6\sqrt{3}+12\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Додайте 6\sqrt{3} до 12\sqrt{3}, щоб отримати 18\sqrt{3}.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{13}$$

Квадрат \sqrt{3} дорівнює 3.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+3\times 3}{13}$$

Помножте 3 на 3, щоб отримати 9.

$$\frac{24+18\sqrt{3}+9}{13}$$

Додайте 24 до 9, щоб обчислити 33.

$$\frac{33+18\sqrt{3}}{13}$$