Розв'яжіть 4/x-5/x+1=1

$$\frac { 4 } { x } - \frac { 5 } { x + 1 } = 1$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)\approx -3,236067977$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -1,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x+1\right) (найменше спільне кратне для x,x+1).

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+1 на 4.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x+1.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

Відніміть x з обох сторін.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

Додайте 4x до -x, щоб отримати 3x.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

Помножте -1 на 5, щоб отримати -5.

$$3x+4-5x-x^{2}=0$$

Додайте 3x до -5x, щоб отримати -2x.

$$-2x+4-x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}-2x+4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, -2 замість b і 4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 4 до 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 20.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2} за додатного значення ±. Додайте 2 до 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+2}{-2}$$

Розділіть 2+2\sqrt{5} на -2.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{5} від 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{5}}{-2}$$

Розділіть 2-2\sqrt{5} на -2.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right) x=\sqrt{5}-1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -1,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x+1\right) (найменше спільне кратне для x,x+1).

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+1 на 4.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x+1.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

Відніміть x з обох сторін.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

Додайте 4x до -x, щоб отримати 3x.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

Відніміть 4 з обох сторін. Якщо відняти будь-яке число від нуля, ви отримаєте його протилежне за знаком число.

$$3x-x\times 5-x^{2}=-4$$

Помножте -1 на 5, щоб отримати -5.

$$3x-5x-x^{2}=-4$$

Додайте 3x до -5x, щоб отримати -2x.

$$-2x-x^{2}=-4$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-2x=-4$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=-\frac{4}{-1}$$

Розділіть -2 на -1.

$$x^{2}+2x=-\frac{4}{-1}$$

Розділіть -4 на -1.

$$x^{2}+2x=4$$

Поділіть 2 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 1. Потім додайте 1 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

Додайте 4 до 1.

$$x^{2}+2x+1=5$$

Розкладіть x^{2}+2x+1 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Виконайте спрощення.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

Знайдіть x

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}-1\approx -3,236067977$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -1,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x+1\right) (найменше спільне кратне для x,x+1).

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+1 на 4.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x+1.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

Відніміть x з обох сторін.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

Додайте 4x до -x, щоб отримати 3x.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

Помножте -1 на 5, щоб отримати -5.

$$3x+4-5x-x^{2}=0$$

Додайте 3x до -5x, щоб отримати -2x.

$$-2x+4-x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}-2x+4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, -2 замість b і 4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 4 до 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 20.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2} за додатного значення ±. Додайте 2 до 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+2}{-2}$$

Розділіть 2+2\sqrt{5} на -2.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{5} від 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{5}}{-2}$$

Розділіть 2-2\sqrt{5} на -2.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right) x=\sqrt{5}-1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -1,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x+1\right) (найменше спільне кратне для x,x+1).

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+1 на 4.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x+1.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

Відніміть x з обох сторін.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

Додайте 4x до -x, щоб отримати 3x.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

Відніміть 4 з обох сторін. Якщо відняти будь-яке число від нуля, ви отримаєте його протилежне за знаком число.

$$3x-x\times 5-x^{2}=-4$$

Помножте -1 на 5, щоб отримати -5.

$$3x-5x-x^{2}=-4$$

Додайте 3x до -5x, щоб отримати -2x.

$$-2x-x^{2}=-4$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-2x=-4$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=-\frac{4}{-1}$$

Розділіть -2 на -1.

$$x^{2}+2x=-\frac{4}{-1}$$

Розділіть -4 на -1.

$$x^{2}+2x=4$$

Поділіть 2 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 1. Потім додайте 1 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

Додайте 4 до 1.

$$x^{2}+2x+1=5$$

Розкладіть x^{2}+2x+1 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Виконайте спрощення.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$