Розв'яжіть 4/x+4/x-6=1

$$\frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { x - 6 } = 1$$

Знайдіть x

$$x=2$$

$$x=12$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень 0,6, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x-6\right) (найменше спільне кратне для x,x-6).

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-6 на 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Додайте 4x до x\times 4, щоб отримати 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Додайте 6x до обох сторін.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Додайте 8x до 6x, щоб отримати 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -x^{2}+ax+bx-24. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

Оскільки ab додатне, a і b мають однаковий знак. Оскільки a+b позитивний, a і b є позитивними. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 14.

$$a=12 b=2$$

Перепишіть -x^{2}+14x-24 як \left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Винесіть за дужки -x в першій і 2 у другій групі.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-12, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть x-12=0 і -x+2=0.

$$x=12 x=2$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень 0,6, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x-6\right) (найменше спільне кратне для x,x-6).

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-6 на 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Додайте 4x до x\times 4, щоб отримати 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Додайте 6x до обох сторін.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Додайте 8x до 6x, щоб отримати 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -1 замість a, 14 замість b і -24 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Піднесіть 14 до квадрата.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте -4 на -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 4 на -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-96}}{2\left(-1\right)}$$

Додайте 196 до -96.

$$x=\frac{-14±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 100.

$$x=\frac{-14±10}{2\left(-1\right)}$$

Помножте 2 на -1.

$$x=\frac{-14±10}{-2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-14±10}{-2} за додатного значення ±. Додайте -14 до 10.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Розділіть -4 на -2.

$$x=2$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-14±10}{-2} за від’ємного значення ±. Відніміть 10 від -14.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Розділіть -24 на -2.

$$x=12$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=2 x=12$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень 0,6, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x-6\right) (найменше спільне кратне для x,x-6).

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-6 на 4.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

Додайте 4x до x\times 4, щоб отримати 8x.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x на x-6.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

Відніміть x^{2} з обох сторін.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

Додайте 6x до обох сторін.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

Додайте 8x до 6x, щоб отримати 14x.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Додайте 24 до обох сторін. Якщо додати нуль до будь-якого числа, воно не зміниться.

$$14x-x^{2}=24$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+14x=24$$

Розділіть обидві сторони на -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

Ділення на -1 скасовує множення на -1.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{24}{-1}$$

Розділіть 14 на -1.

$$x^{2}-14x=\frac{24}{-1}$$

Розділіть 24 на -1.

$$x^{2}-14x=-24$$

Поділіть -14 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -7. Потім додайте -7 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

Додайте -24 до 49.

$$x^{2}-14x+49=25$$

Розкладіть x^{2}-14x+49 на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Виконайте спрощення.

$$x-7=5 x-7=-5$$

Додайте 7 до обох сторін цього рівняння.

$$x=12 x=2$$