Розв'яжіть frac{4+sqrt{5}}{4-sqrt{5}}+frac{4-sqrt{5}}{4+sqrt{5}}

$$\frac { 4 + \sqrt { 5 } } { 4 - \sqrt { 5 } } + \frac { 4 - \sqrt { 5 } } { 4 + \sqrt { 5 } }$$

Обчислити

$$\frac{42}{11}\approx 3,818181818$$

Стислі кроки з розв’язання

Звільніть від ірраціональності знаменник дробу \frac{4+\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}}: помножте чисельник і знаменник на 4+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Розглянемо \left(4-\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Піднесіть 4 до квадрата. Піднесіть \sqrt{5} до квадрата.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{16-5}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Відніміть 5 від 16, щоб отримати 11.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Помножте 4+\sqrt{5} на 4+\sqrt{5}, щоб отримати \left(4+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)^{2}}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(4+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{16+8\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Квадрат \sqrt{5} дорівнює 5.

$$\frac{16+8\sqrt{5}+5}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Додайте 16 до 5, щоб обчислити 21.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Звільніть від ірраціональності знаменник дробу \frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}: помножте чисельник і знаменник на 4-\sqrt{5}.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}$$

Розглянемо \left(4+\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Піднесіть 4 до квадрата. Піднесіть \sqrt{5} до квадрата.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{16-5}$$

Відніміть 5 від 16, щоб отримати 11.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{11}$$

Помножте 4-\sqrt{5} на 4-\sqrt{5}, щоб отримати \left(4-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)^{2}}{11}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(4-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{16-8\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{11}$$

Квадрат \sqrt{5} дорівнює 5.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{16-8\sqrt{5}+5}{11}$$

Додайте 16 до 5, щоб обчислити 21.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{21-8\sqrt{5}}{11}$$

Оскільки знаменник дробів \frac{21+8\sqrt{5}}{11} і \frac{21-8\sqrt{5}}{11} збігається, щоб знайти їх суму, достатньо скласти чисельники.

$$\frac{21+8\sqrt{5}+21-8\sqrt{5}}{11}$$

Виконайте арифметичні операції у виразі 21+8\sqrt{5}+21-8\sqrt{5}.

$$\frac{42}{11}$$

Розкласти на множники

$$\frac{2 \cdot 3 \cdot 7}{11} = 3\frac{9}{11} = 3,8181818181818183$$