Розв'яжіть 30/x^2+5x+6-x/x+2=2x+1/x+3

$$\frac { 30 } { x ^ { 2 } + 5 x + 6 } - \frac { x } { x + 2 } = \frac { 2 x + 1 } { x + 3 }$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{14}{3} = -4\frac{2}{3} \approx -4,666666667$$

$$x=2$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -3,-2, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x+2\right)\left(x+3\right) (найменше спільне кратне для x^{2}+5x+6,x+2,x+3).

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+3 на x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}+3x, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+2 на 2x+1 і звести подібні члени.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Відніміть 2x^{2} з обох сторін.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Додайте -x^{2} до -2x^{2}, щоб отримати -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Відніміть 5x з обох сторін.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Додайте -3x до -5x, щоб отримати -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Відніміть 2 з обох сторін.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Відніміть 2 від 30, щоб отримати 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -3x^{2}+ax+bx+28. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-8 ab=-3\times 28=-84$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -8.

$$a=6 b=-14$$

Перепишіть -3x^{2}-8x+28 як \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right)$$

Винесіть за дужки 3x в першій і 14 у другій групі.

$$3x\left(-x+2\right)+14\left(-x+2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член -x+2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(-x+2\right)\left(3x+14\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть -x+2=0 і 3x+14=0.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -3,-2, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x+2\right)\left(x+3\right) (найменше спільне кратне для x^{2}+5x+6,x+2,x+3).

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+3 на x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}+3x, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+2 на 2x+1 і звести подібні члени.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Відніміть 2x^{2} з обох сторін.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Додайте -x^{2} до -2x^{2}, щоб отримати -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Відніміть 5x з обох сторін.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Додайте -3x до -5x, щоб отримати -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Відніміть 2 з обох сторін.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Відніміть 2 від 30, щоб отримати 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -3 замість a, -8 замість b і 28 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Піднесіть -8 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте -4 на -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 12 на 28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+336}}{2\left(-3\right)}$$

Додайте 64 до 336.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{400}}{2\left(-3\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 400.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±20}{2\left(-3\right)}$$

Число, протилежне до -8, дорівнює 8.

$$x=\frac{8±20}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 2 на -3.

$$x=\frac{8±20}{-6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{8±20}{-6} за додатного значення ±. Додайте 8 до 20.

$$x=\frac{28}{-6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{28}{-6} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{14}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{8±20}{-6} за від’ємного значення ±. Відніміть 20 від 8.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Розділіть -12 на -6.

$$x=2$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-\frac{14}{3} x=2$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -3,-2, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на \left(x+2\right)\left(x+3\right) (найменше спільне кратне для x^{2}+5x+6,x+2,x+3).

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+3 на x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Щоб знайти протилежне виразу x^{2}+3x, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+2 на 2x+1 і звести подібні члени.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Відніміть 2x^{2} з обох сторін.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Додайте -x^{2} до -2x^{2}, щоб отримати -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Відніміть 5x з обох сторін.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Додайте -3x до -5x, щоб отримати -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Відніміть 30 з обох сторін.

$$-3x^{2}-8x=2-30$$

Відніміть 30 від 2, щоб отримати -28.

$$-3x^{2}-8x=-28$$

Розділіть обидві сторони на -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{28}{-3}$$

Ділення на -3 скасовує множення на -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{28}{-3}$$

Розділіть -8 на -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{28}{-3}$$

Розділіть -28 на -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{28}{3}$$

Поділіть \frac{8}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{4}{3}. Потім додайте \frac{4}{3} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{28}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{4}{3} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{28}{3}+\frac{16}{9}$$

Щоб додати \frac{28}{3} до \frac{16}{9}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{100}{9}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}$$

Відніміть \frac{4}{3} від обох сторін цього рівняння.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$