Розв'яжіть 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Знайдіть x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте перше рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 2.

$$3x+2y=22$$

Розгляньте друге рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 2.

$$2x+y=14$$

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$3x+2y=22$$

Відніміть 2y від обох сторін цього рівняння.

$$3x=-2y+22$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Помножте \frac{1}{3} на -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Підставте \frac{-2y+22}{3} замість x в іншому рівнянні: 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Помножте 2 на \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Додайте -\frac{4y}{3} до y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Відніміть \frac{44}{3} від обох сторін цього рівняння.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Помножте обидві сторони на -3.

$$y=2$$

Підставте 2 замість y у рівняння x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Помножте -\frac{2}{3} на 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Щоб додати \frac{22}{3} до -\frac{4}{3}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=6$$

Систему розв’язано.

$$x=6,y=2$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте перше рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 2.

$$3x+2y=22$$

Розгляньте друге рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 2.

$$2x+y=14$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=6,y=2$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте перше рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 2.

$$3x+2y=22$$

Розгляньте друге рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 2.

$$2x+y=14$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Щоб отримати рівність між 3x і 2x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 2, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Виконайте спрощення.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Знайдіть різницю 6x+3y=42 і 6x+4y=44. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Додайте 6x до -6x. Члени 6x та -6x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$4y-3y=44-42$$

Додайте 4y до -3y.

$$y=44-42$$

Додайте 44 до -42.

$$y=2$$

Підставте 2 замість y у рівняння 2x+y=14. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$2x+2=14$$

Відніміть 2 від обох сторін цього рівняння.

$$2x=12$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$x=6$$

Систему розв’язано.

$$x=6,y=2$$