Розв'яжіть 3/x+2/x-1=2

$$\frac { 3 } { x } + \frac { 2 } { x - 1 } = 2$$

Знайдіть x

$$x=3$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень 0,1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x-1\right) (найменше спільне кратне для x,x-1).

$$\left(x-1\right)\times 3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-1 на 3.

$$3x-3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Додайте 3x до x\times 2, щоб отримати 5x.

$$5x-3=2x\left(x-1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x на x-1.

$$5x-3=2x^{2}-2x$$

Відніміть 2x^{2} з обох сторін.

$$5x-3-2x^{2}=-2x$$

Додайте 2x до обох сторін.

$$5x-3-2x^{2}+2x=0$$

Додайте 5x до 2x, щоб отримати 7x.

$$7x-3-2x^{2}=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$-2x^{2}+7x-3=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -2x^{2}+ax+bx-3. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=7 ab=-2\left(-3\right)=6$$

Оскільки ab додатне, a і b мають однаковий знак. Оскільки a+b позитивний, a і b є позитивними. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 6.

$$1,6 2,3$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+6=7 2+3=5$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 7.

$$a=6 b=1$$

Перепишіть -2x^{2}+7x-3 як \left(-2x^{2}+6x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(-2x^{2}+6x\right)+\left(x-3\right)$$

Винесіть за дужки 2x в першій і -1 у другій групі.

$$2x\left(-x+3\right)-\left(-x+3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член -x+3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(-x+3\right)\left(2x-1\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть -x+3=0 і 2x-1=0.

$$x=3 x=\frac{1}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень 0,1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x-1\right) (найменше спільне кратне для x,x-1).

$$\left(x-1\right)\times 3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-1 на 3.

$$3x-3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Додайте 3x до x\times 2, щоб отримати 5x.

$$5x-3=2x\left(x-1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x на x-1.

$$5x-3=2x^{2}-2x$$

Відніміть 2x^{2} з обох сторін.

$$5x-3-2x^{2}=-2x$$

Додайте 2x до обох сторін.

$$5x-3-2x^{2}+2x=0$$

Додайте 5x до 2x, щоб отримати 7x.

$$7x-3-2x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-2x^{2}+7x-3=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -2 замість a, 7 замість b і -3 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Піднесіть 7 до квадрата.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте -4 на -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+8\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 8 на -3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24}}{2\left(-2\right)}$$

Додайте 49 до -24.

$$x=\frac{-7±\sqrt{25}}{2\left(-2\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 25.

$$x=\frac{-7±5}{2\left(-2\right)}$$

Помножте 2 на -2.

$$x=\frac{-7±5}{-4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-7±5}{-4} за додатного значення ±. Додайте -7 до 5.

$$x=-\frac{2}{-4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-2}{-4} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-7±5}{-4} за від’ємного значення ±. Відніміть 5 від -7.

$$x=-\frac{12}{-4}$$

Розділіть -12 на -4.

$$x=3$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1}{2} x=3$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень 0,1, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x-1\right) (найменше спільне кратне для x,x-1).

$$\left(x-1\right)\times 3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x-1 на 3.

$$3x-3+x\times 2=2x\left(x-1\right)$$

Додайте 3x до x\times 2, щоб отримати 5x.

$$5x-3=2x\left(x-1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x на x-1.

$$5x-3=2x^{2}-2x$$

Відніміть 2x^{2} з обох сторін.

$$5x-3-2x^{2}=-2x$$

Додайте 2x до обох сторін.

$$5x-3-2x^{2}+2x=0$$

Додайте 5x до 2x, щоб отримати 7x.

$$7x-3-2x^{2}=0$$

Додайте 3 до обох сторін. Якщо додати нуль до будь-якого числа, воно не зміниться.

$$7x-2x^{2}=3$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+7x=3$$

Розділіть обидві сторони на -2.

$$\frac{-2x^{2}+7x}{-2}=\frac{3}{-2}$$

Ділення на -2 скасовує множення на -2.

$$x^{2}+\frac{7}{-2}x=\frac{3}{-2}$$

Розділіть 7 на -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{3}{-2}$$

Розділіть 3 на -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Поділіть -\frac{7}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{4}. Потім додайте -\frac{7}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{49}{16}$$

Щоб додати -\frac{3}{2} до \frac{49}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{25}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{5}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$$

Додайте \frac{7}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=3 x=\frac{1}{2}$$