Розв'яжіть frac{3+sqrt{2}}{sqrt{5}+sqrt{3}}

$$\frac { 3 + \sqrt { 2 } } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } }$$

Обчислити

$$\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{5}-\sqrt{6}-3\sqrt{3}}{2}\approx 1,112419714$$

Покрокове розв’язання

Звільніться від ірраціональності в знаменнику \frac{3+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}, помноживши чисельник і знаменник на \sqrt{5}-\sqrt{3}.

$$\frac{\left(3+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}$$

Розглянемо \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right). Множення можна виконати за правилом різниці квадратів: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(3+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Піднесіть \sqrt{5} до квадрата. Піднесіть \sqrt{3} до квадрата.

$$\frac{\left(3+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{5-3}$$

Відніміть 3 від 5, щоб отримати 2.

$$\frac{\left(3+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності: помножте кожен член 3+\sqrt{2} на кожен член \sqrt{5}-\sqrt{3}.

$$\frac{3\sqrt{5}-3\sqrt{3}+\sqrt{2}\sqrt{5}-\sqrt{2}\sqrt{3}}{2}$$

Щоб перемножте \sqrt{2} та \sqrt{5}, перемножте номери в квадратних корені.

$$\frac{3\sqrt{5}-3\sqrt{3}+\sqrt{10}-\sqrt{2}\sqrt{3}}{2}$$

Щоб перемножте \sqrt{2} та \sqrt{3}, перемножте номери в квадратних корені.

$$\frac{3\sqrt{5}-3\sqrt{3}+\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$$