Розв'яжіть 28/25y+29/25w=22178text{aud}29y/25+28/25w=22154

$$\frac { 28 } { 25 } y + \frac { 29 } { 25 } w = 22178 \text { aud } \frac { 29 y } { 25 } + \frac { 28 } { 25 } w = 22154$$

Знайдіть y, w

$$y = \frac{537050}{57} = 9421\frac{53}{57} \approx 9421,929824561$$

$$w = \frac{571250}{57} = 10021\frac{53}{57} \approx 10021,929824561$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Розгляньте друге рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 25.

$$29y+28w=553850$$

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$\frac{28}{25}y+\frac{29}{25}w=22178,29y+28w=553850$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної y. Для цього перенесіть y до лівої стороні рівняння.

$$\frac{28}{25}y+\frac{29}{25}w=22178$$

Відніміть \frac{29w}{25} від обох сторін цього рівняння.

$$\frac{28}{25}y=-\frac{29}{25}w+22178$$

Розділіть обидві сторони рівняння на \frac{28}{25}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$y=\frac{25}{28}\left(-\frac{29}{25}w+22178\right)$$

Помножте \frac{25}{28} на -\frac{29w}{25}+22178.

$$y=-\frac{29}{28}w+\frac{277225}{14}$$

Підставте -\frac{29w}{28}+\frac{277225}{14} замість y в іншому рівнянні: 29y+28w=553850.

$$29\left(-\frac{29}{28}w+\frac{277225}{14}\right)+28w=553850$$

Помножте 29 на -\frac{29w}{28}+\frac{277225}{14}.

$$-\frac{841}{28}w+\frac{8039525}{14}+28w=553850$$

Додайте -\frac{841w}{28} до 28w.

$$-\frac{57}{28}w+\frac{8039525}{14}=553850$$

Відніміть \frac{8039525}{14} від обох сторін цього рівняння.

$$-\frac{57}{28}w=-\frac{285625}{14}$$

Розділіть обидві сторони рівняння на -\frac{57}{28}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$w=\frac{571250}{57}$$

Підставте \frac{571250}{57} замість w у рівняння y=-\frac{29}{28}w+\frac{277225}{14}. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$y=-\frac{29}{28}\times \frac{571250}{57}+\frac{277225}{14}$$

Щоб помножити -\frac{29}{28} на \frac{571250}{57}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$y=-\frac{8283125}{798}+\frac{277225}{14}$$

Щоб додати \frac{277225}{14} до -\frac{8283125}{798}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$y=\frac{537050}{57}$$

Систему розв’язано.

$$y=\frac{537050}{57},w=\frac{571250}{57}$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Розгляньте друге рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 25.

$$29y+28w=553850$$

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$\frac{28}{25}y+\frac{29}{25}w=22178,29y+28w=553850$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}\frac{28}{25}&\frac{29}{25}\\29&28\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22178\\553850\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}\frac{28}{25}&\frac{29}{25}\\29&28\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{28}{25}&\frac{29}{25}\\29&28\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{28}{25}&\frac{29}{25}\\29&28\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{28}{25}&\frac{29}{25}\\29&28\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22178\\553850\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{28}{25}&\frac{29}{25}\\29&28\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22178\\553850\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}y\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{28}{25}&\frac{29}{25}\\29&28\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22178\\553850\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}y\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{\frac{28}{25}\times 28-\frac{29}{25}\times 29}&-\frac{\frac{29}{25}}{\frac{28}{25}\times 28-\frac{29}{25}\times 29}\\-\frac{29}{\frac{28}{25}\times 28-\frac{29}{25}\times 29}&\frac{\frac{28}{25}}{\frac{28}{25}\times 28-\frac{29}{25}\times 29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22178\\553850\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{700}{57}&\frac{29}{57}\\\frac{725}{57}&-\frac{28}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22178\\553850\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}y\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{700}{57}\times 22178+\frac{29}{57}\times 553850\\\frac{725}{57}\times 22178-\frac{28}{57}\times 553850\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}y\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{537050}{57}\\\frac{571250}{57}\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці y і w.

$$y=\frac{537050}{57},w=\frac{571250}{57}$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Розгляньте друге рівняння. Помножте обидві сторони цього рівняння на 25.

$$29y+28w=553850$$

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$\frac{28}{25}y+\frac{29}{25}w=22178,29y+28w=553850$$

Щоб отримати рівність між \frac{28y}{25} і 29y, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 29, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на \frac{28}{25}.

$$29\times \frac{28}{25}y+29\times \frac{29}{25}w=29\times 22178,\frac{28}{25}\times 29y+\frac{28}{25}\times 28w=\frac{28}{25}\times 553850$$

Виконайте спрощення.

$$\frac{812}{25}y+\frac{841}{25}w=643162,\frac{812}{25}y+\frac{784}{25}w=620312$$

Знайдіть різницю \frac{812}{25}y+\frac{784}{25}w=620312 і \frac{812}{25}y+\frac{841}{25}w=643162. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$\frac{812}{25}y-\frac{812}{25}y+\frac{841}{25}w-\frac{784}{25}w=643162-620312$$

Додайте \frac{812y}{25} до -\frac{812y}{25}. Члени \frac{812y}{25} та -\frac{812y}{25} відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$\frac{841}{25}w-\frac{784}{25}w=643162-620312$$

Додайте \frac{841w}{25} до -\frac{784w}{25}.

$$\frac{57}{25}w=643162-620312$$

Додайте 643162 до -620312.

$$\frac{57}{25}w=22850$$

Розділіть обидві сторони рівняння на \frac{57}{25}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$w=\frac{571250}{57}$$

Підставте \frac{571250}{57} замість w у рівняння 29y+28w=553850. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно y.

$$29y+28\times \frac{571250}{57}=553850$$

Помножте 28 на \frac{571250}{57}.

$$29y+\frac{15995000}{57}=553850$$

Відніміть \frac{15995000}{57} від обох сторін цього рівняння.

$$29y=\frac{15574450}{57}$$

Розділіть обидві сторони на 29.

$$y=\frac{537050}{57}$$

Систему розв’язано.

$$y=\frac{537050}{57},w=\frac{571250}{57}$$