Розв'яжіть 2/x+2/x+1=3

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 2 } { x + 1 } = 3$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -1,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x+1\right) (найменше спільне кратне для x,x+1).

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+1 на 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Додайте 2x до x\times 2, щоб отримати 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 3x на x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Відніміть 3x^{2} з обох сторін.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Відніміть 3x з обох сторін.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Додайте 4x до -3x, щоб отримати x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Упорядкуйте многочлен, щоб привести його до стандартного вигляду. Розташуйте доданки в порядку від найвищого степеня до найнижчого.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді -3x^{2}+ax+bx+2. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=1 ab=-3\times 2=-6$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -6.

$$-1,6 -2,3$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 1.

$$a=3 b=-2$$

Перепишіть -3x^{2}+x+2 як \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Винесіть за дужки 3x в першій і 2 у другій групі.

$$3x\left(-x+1\right)+2\left(-x+1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член -x+1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+2\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть -x+1=0 і 3x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -1,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x+1\right) (найменше спільне кратне для x,x+1).

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+1 на 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Додайте 2x до x\times 2, щоб отримати 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 3x на x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Відніміть 3x^{2} з обох сторін.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Відніміть 3x з обох сторін.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Додайте 4x до -3x, щоб отримати x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте -3 замість a, 1 замість b і 2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте -4 на -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 12 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+24}}{2\left(-3\right)}$$

Додайте 1 до 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{25}}{2\left(-3\right)}$$

Видобудьте квадратний корінь із 25.

$$x=\frac{-1±5}{2\left(-3\right)}$$

Помножте 2 на -3.

$$x=\frac{-1±5}{-6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±5}{-6} за додатного значення ±. Додайте -1 до 5.

$$x=\frac{4}{-6}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{4}{-6} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±5}{-6} за від’ємного значення ±. Відніміть 5 від -1.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Розділіть -6 на -6.

$$x=1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-\frac{2}{3} x=1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Змінна x не може дорівнювати жодному зі значень -1,0, тому що ділення на нуль не визначено. Помножте обидві сторони цього рівняння на x\left(x+1\right) (найменше спільне кратне для x,x+1).

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити x+1 на 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Додайте 2x до x\times 2, щоб отримати 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 3x на x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Відніміть 3x^{2} з обох сторін.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Відніміть 3x з обох сторін.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Додайте 4x до -3x, щоб отримати x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Відніміть 2 з обох сторін. Якщо відняти будь-яке число від нуля, ви отримаєте його протилежне за знаком число.

$$x-3x^{2}=-2$$

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+x=-2$$

Розділіть обидві сторони на -3.

$$\frac{-3x^{2}+x}{-3}=-\frac{2}{-3}$$

Ділення на -3 скасовує множення на -3.

$$x^{2}+\frac{1}{-3}x=-\frac{2}{-3}$$

Розділіть 1 на -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{2}{-3}$$

Розділіть -2 на -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$$

Поділіть -\frac{1}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{6}. Потім додайте -\frac{1}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Щоб додати \frac{2}{3} до \frac{1}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{25}{36}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$$

Додайте \frac{1}{6} до обох сторін цього рівняння.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$